Пределы применимости формулы эйлера для стали

Пределы применимости формулы Эйлера

Вывод формулы Эйлера основан на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии стержня. Это уравнение справедливо только в пределах линейной зависимости между напряжениями и деформациями, поэтому и формула Эйлера применима только до тех пор, пока критические напряжения, определяемые по этой формуле, не превосходят предела пропорциональности σ пц , т. е. при условии

.

Используя соотношение i 2 min = I min / F , где i min — наименьший радиус инерции поперечного сечения стержня, можем записать это условие так:

.

Безразмерная величина λ называется гибкостью стержня:

.

В понятии гибкость находят отражение длина стержня, геометрические параметры поперечных сечений, условия его закрепления и вид нагружения внешними силами.

Обозначим через λ o значение гибкости стержня, при котором σ k = σ пц . Очевидно, что

.

Согласно формуле (13.12), большим значениям гибкости соответствуют меньшие значения критических напряжений. Следовательно, формула Эйлера применима для стержней, гибкость которых

.

Например, для конструкционной малоуглеродистой стали с σ пц =210 МПа и E =2.1·10 5 МПа формулой Эйлера можно пользоваться лишь при гибкости стержня

,

а для алюминиевого сплава Д16Т с σ пц =200 МПа и E =0.75·10 5 МПа при

.

Источник

Каковы пределы применимости формулы Эйлера?

Пределы ее применимости можно легко установить, предварительно введя понятие гибкости стержня, предложенное Феликсом Станиславовичем Ясинским (1856 – 1899 гг.).

Определим эйлеровынапряжения, исходя из формулыЭйлера(12.1):

.

Здесь – геометрическая характеристика поперечного сечения, называемая минимальнымрадиусоминерции, которая измеряется (см. беседу 4) в сантиметрах;– безразмерная геометрическая характеристика, называемаягибкостьюсжатого стержня.

С учетом формулы (12.2), находим, что

.

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обозначим и назовемпредельной гибкостью. Тогда

.

В отличие от гибкости стержня, представляющей собой его геометрическую характеристику, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала и не зависит от его размеров.

Предельная гибкость – постоянная для данного материала величина.Например, для стали Ст. 3.

Используя понятие предельной гибкости, пределы применимости формулы Эйлера, можно представить в виде:

.

Таким образом, формула Эйлера дает истинное значение нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости стержня, только в том случае, когда гибкость рассчитываемого стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

По какой формуле определяется критическая нагрузка для стержней малой и средней гибкости (при )?

В случае, когда формула Эйлеранеприменима,критическаянагрузка определяется поэмпирическойформуле, предложеннойЯсинским, на основе опытов, проведенных рядом исследователей. Она имеет вид:

,

где аиb– коэффициенты, зависящие от свойств материала и измеряющиеся в единицах напряжения.

Для очень коротких стержней (при некоторой гибкости, обозначаемой ) критическое напряжение, то есть напряжение, при котором происходит потеря устойчивости стержня, может оказаться равнымпредельномунапряжению при сжатии: пределу текучести для пластичных материалов или пределу прочности для хрупких. Тогда, при

для пластичных материалов

,

.

Как осуществляется расчет центрально сжатого стержня на устойчивость и что такое коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба)?

При назначении размеров длинного сжатого стержня, в первую очередь, приходится заботиться о том, чтобы он в процессе эксплуатации не потерял устойчивость прямолинейной формы равновесия. Поэтому напряжения в сжатом стержне не должны превышать критических напряжений:

. (12.3)

Исследования показали, что незначительные местные ослабления стержня (например, заклепочные отверстия) не оказывают существенного влияния на значение критической нагрузки, поэтому в формуле (12.3) берется вся площадь поперечного сечения (площадь брутто).

Читайте также:  Папиросы беломорканал когда стали выпускать

Условие прочности при сжатии, как известно, имеет вид:

.

Расчет сжатого стержня на устойчивость можно по форме привести к расчету на простое сжатие. Однако при этом необходимо учесть, что длинный стержень (стержень большой гибкости) может потерять устойчивость, то есть исчерпает несущую способность, при меньшем напряжении, чем допускаемое напряжение. Поэтому условие устойчивости сжатого стержня можно представить в виде:

, (12.4)

где – коэффициент, называемыйкоэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения иликоэффициентом продольного изгиба. Очевидно, что этот коэффициент зависит от материала стержня и от его гибкостии изменяется в пределах от 0 (при) до 1 (при).

Этот метод расчета очень удобен в том смысле, что он не связан с пределами применимости формулы Эйлераи может быть использован практически при всех значениях гибкости.

Заметим, что проектировочный расчет по формуле (12.4), связанный с подбором размеров поперечного сечения стержня

, (12.5)

приходится осуществлять методом последовательных приближений. Это обусловлено тем, что площадь поперечного сечения стержня внеявномвиде входит и в правую часть выражения (12.5), поскольку коэффициент продольного изгибазависит от гибкости стержня, а последняя, в свою очередь, от радиуса инерции.

Источник

Пределы применимости формулы эйлера для стали

Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

На рис.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так называемой «гиперболой Эйлеpa»:

При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности.

Рис.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня

Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

или

Если из этого неравенства выразить гибкость , то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным , поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большей, чем 100 %

Для стали 5 при формула Эйлера применима при гибкости ; для чугуна — при , для сосны — при и т. д. Если мы на Рис.1 проведем горизонтальную линию с ординатой, равной , то она рассечет гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

Читайте также:  Какая сталь для чего применяется

Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.

Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести (при пластичном материале) или предела прочности (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 3040, критические напряжения «будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси стержня), соответственно или (сталь), или (чугун, дерево).

Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной величине напряжений (когда ).

Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.

По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории ^ тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

Читайте также:  Нерж сталь для сепаратора

Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.

На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.

Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному:

где а и b — коэффициенты, зависящие от материала, a — гибкость стержня. Для литого железа Ясинский получил: а = 338,7МПа, b = 1,483 МПа. Для стали 3 при гибкостях от = 40 до = 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа; b = 1,47МПа. Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа; b = 0,194 МПа.

Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула

Здесь при = 0 считают для пластичного и для хрупкого материала; коэффициент а, подобранный из условия плавного сопряжения с гиперболой Эйлера, имеет значение:

для стали с пределом текучести = 280 МПа а = 0,009 МПа

сосны прочности = 30; а = 0,0008 »

чугуна = 420; а = 0,044 »

При наличии приведенных здесь данных может быть построен полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На Рис.2 приведен такой график для строительной стали с пределом текучести и пределом пропорциональности .

Рис.2. Полный график критических напряжений для строительной стали.

График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при, наклонной прямой при и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при . Подобные же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера с результатами экспериментов, и для других материалов.

Таким образом, можно считать, что задача определения критических напряжений для стержней любой гибкости решена с достаточной для практических целей точностью.

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:

где

Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь выбрать только коэффициент запаса k.

На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.

Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).

Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.

Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость [] и допускаемым напряжением на прочность [], возьмем их отношение:

или

Рис.3. Расчетная схема сжатой стойки.

Так как в условии устойчивости нам не известно ни , ни , одной из этих величин необходимо задаться. Примем для первого приближения . В этом случае необходимая площадь поперечного сечения стержня будет равна

или

По сортаменту выбираем двутавр No 24, b с площадью . Наименьший радиус инерции сечения . Соответствующая гибкость стойки

Коэффициент по интерполяции между значениями его из таблицы для и равен . Расчетным напряжением будет:

Перенапряжение составляет. Подбираем двутавр No 27, а. ; ; наибольшая его гибкость . Так как коэффициент , то расчетное напряжение

Перенапряжение составляет теперь что допустимо.

Источник